Bu kitap, Hilbert’in deyimiyle “astronomun bulunduğu noktanın hareketini gözetmesi, fizikçinin aletlerinin kuramını incelemesi ve filozofun aklın kendisini eleştirmesi gibi, matematiğe özgü kanıtları konu edinen“ Matematiksel Mantık Kuramı’nın temellerini vermeyi ve matematik tarihinin en sarsıcı çalışmalarından olan Gödel’in teoremlerine ilgi duyanlara bir kaynak sunmayı amaçlamaktadır. Kitapta, sonraki bölümlerin kolayca izlenmesini sağlamak için önce önermeler mantığı ayrıntılı olarak ele alınmıştır. Sonra birinci dereceden mantık ve birinci dereceden biçimsel kuramlar açıklanmış, Gödel Tamlık Teoremi kanıtlanıp bazı uygulamalarına yer verilmiştir. Modeller Kuramı’nın temel kavram ve teoremlerine ayrılan ve yaban (nonstandard) analize kısaca yer verilen bir bölümün ardından son bölümde Gödel Eksiklik Teoremleri, kanıtın ana fikrinin anlaşılmasına özen gösterilerek önce sezgisel olarak kanıtlanmış, ardından bu teoremlerin matematiksel kanıtları verilmiştir. Kitabın sonunda Gödel Eksiklik Teoremleri’ne iki farklı yaklaşım ele alınmış ve kısaca da olsa ikinci dereceden mantığa değinilmiştir. ------- İçindekiler Bölüm 1 ÖN BİLGİLER 1.1 Kümeler Kuramı Cantor Köşegen Yöntemi 1.2 Abeceler ve Sözcükler 1.3 Tümevarım ve Yineleme Bölüm 2 ÖNERMELER MANTIĞI 2.1 Anlamsal Önermeler 2.2 Dizimsel (veya Dilbilimsel) Yapı 2.2.1 Önermeler Mantığının Formülleri 2.2.2 Tek Türlü Okunabilirlik 2.2.3 Ayraç Azaltma Uzlaşması 2.2.4 Ön Yazılımda Önermemantıksal Formüller 2.3 Tümevarımsal Kanıtlar ve Yinelgen Tanımlar 2.4 Anlamsal Yapı 2.4.1 Yorumlar-Değerlemeler 2.4.2 Hepdoğrular ve Çelişkiler 2.4.3 Mantıksal Denklik 2.4.4 Yerine Koyma ve Yer Değiştirme 2.4.5 İkililik İlkesi 2.5 Boole Fonksiyonları 2.6 Mantıksal Çıkarımlar 2.6.1 Modeller ve Mantıksal Çıkarımlar 2.6.2 Kompaktlık Teoremi 2.6.3 Kompaktlık Teoremi’nin Uygulamaları 2.7 Frege-Lukasiewicz (FL) Önermeler Mantığı Bölüm 3 BİRİNCİ DERECEDEN KURAMLAR 3.1 Yapılar 3.1.1 Çok Türlü Yapılar 3.2 Anlamsal Alan Hakkında Bazı Notlar 3.3 Birinci Dereceden Biçimsel Diller 3.4 Fm L’nin Önermemantıksal Yapısı 3.5 L-Yapıları ve Yorumlar 3.5.1 L-Yapıları 3.5.2 Yorumların Anlamsal Özü 3.6 Temel Doğrular 3.7 Mantıksal Çıkarımlar 3.8 Anlamsal Denklik 3.9 Biçimsel Kuramlar 3.10 Bazı Matematiksel Kuramlar 3.11 Temel Biçimsel Teoremler 3.11.1 Bir Başka Yaklaşım 3.12 Biçimsel Denklik 3.13 Yerine Koyma ve Değişken Değiştirme 3.14 Biçimsel Tutarlılık 3.15 Tutucu Kuram Genişletmeleri 3.16 Gödel Tamlık Teoremi 3.17 Gödel Tamlık Teoremi’nin Basit Sonuçları 3.18 Tanımsal Dil Zenginleştirme 3.19 Biçimsel Kuramların Birbirlerinde Yorumu Bölüm 4 MODELLER KURAMINA GİRİŞ 4.1 Altyapılar ve Yapı Dönüşümleri 4.1.1 Benzeşmeler 4.2 Basit Denklik ve Basit Altyapılar 4.2.1 Diyagramlar 4.2.2 Açık veya Evrensel Kuramlar 4.3 Arakesitler, Birleşimler ve Zincirler 4.4 Aksiyomlaştırma, Tamlık ve Kesinlik 4.4.1 Aksiyomlaştırma 4.4.2 Tamlık ve Kesinlik 4.5 Yaban Aritmetik 4.6 Yaban Analiz 4.6.1 R*’ın Kurulumu 4.6.2 R*’ın Cebirsel Yapısı 4.6.3 R*’da Limit Bölüm 5 GÖDEL EKSİKLİK TEOREMLERİ 5.1 Gödel Teoremlerine Giden Yol 5.2 Algoritmalar 5.3 Belirlenebilirlik ve Hesaplanabilirlik 5.4 Bir Sezgisel Deneme 5.5 Aritmetik Silsile 5.6 Gödel Teoremlerine Sezgisel Yaklaşım 5.7 Gödel Eksiklik Teoremleri 5.8 Yinelgen Fonksiyonlar 5.9 Yinelgen Fonksiyonlara Farklı Bir Yaklaşım 5.10 Basit Yinelgen Kodlama Tam Yineleme 5.11 (Basit) Yinelgen Kısmi Fonksiyonlar Hesaplamaların Kodlanması 5.12 Yarı Yinelgen Bağıntılar 5.13 Kayıt Makinaları 5.14 Aritmetikleştirme 5.15 Temsil Edilebilirlik 5.16 İki Farklı Yaklaşım 5.17 İkinci Dereceden Yüklem Mantığı 5.18 Nedir, Ne Değildir? İmler Dizini Kaynakça
